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UNESP
Dep/Físico-Química
 
 


 

 
De uma maneira bem simples, podemos dizer que a inversa de uma função f, denotada por f-1, é a função que desfaz a operação executada pela função f. Vamos entender melhor essa idéia, através da ilustração abaixo.                      
                 
 
 Observe que:
  • a função f "leva" o valor -2 até o valor -16, enquanto que a inversa f-1, "traz de volta" o valor -16 até o valor -2, desfazendo assim o efeito de f sobre -2.
  • outra maneira de entender essa idéia é: a função f associa o valor -16 ao valor -2, enquanto que a inversa, f-1, associa o valor -2 ao valor -16.
  • dada uma tabela de valores funcionais para f(x), podemos obter uma tabela para a inversa f-1, invertendo as colunas x e y.
  • se aplicarmos, em qualquer ordem, f e também f-1 a um número qualquer, obtemos esse número de volta. Por exemplo,
       Aplicar f e, em seguida, aplicar f-1, obtemos
e escrevemos f-1(f(-2)) = -2.
       Aplicar f-1 e, em seguida, aplicar f, obtemos
e escrevemos f(f-1(-16)) = -16
  • o domínio de f-1 é a imagem de f e a imagem de  f-1 é o domínio de f.

 
Agora já podemos fazer uma definição formal de função inversa.
 
  Definição:
 
  Seja uma função injetora com domínio A e imagem B. A função inversa f-1 é a função , com domínio B e imagem A tal que:  
  f-1(f(a)) = a   para a  A      e     f(f-1(b)) = b   para b B  
  Assim, podemos definir a função inversa f-1 por  
   
  para todo y em B.  
   
 
Veja aqui, uma animação em Flash para compreender melhor a idéia de função inversa.
Utilize essa animação em Flash para entender por que nem toda função possui inversa.
Veja aqui, um applet para compreender melhor a idéia de função injetora.
Utilize este applet para entender melhor a idéia de uma função não-injetora.
 

Para encontrar a função inversa de uma função f injetora, siga os passos descritos abaixo:
      Passo 1: Escreva y = f(x).
      Passo 2: Se possível, isole x nessa equação escrevendo-o em termos de y.
      Passo 3: Escreva x = f-1(y).
      Passo 4: Se quiser expressar a inversa f-1 como uma função de x, troque x
      por y e escreva y = f-1(x).
 
Veja aqui, uma animação mostrando como determinar uma função inversa.
 
 
 
 
A idéia de trocar x por y para escrever a função inversa, nos fornece um método para obter o gráfico de f-1 a partir do gráfico de f. Vejamos então como isso é possível...
Levando em conta que
podemos concluir que
Observe que obtemos o ponto Q(b,a) a partir do ponto P(a,b), refletindo-o em torno da reta bissetriz y = x.
Assim, o gráfico de f-1 é obtido refletindo-se o gráfico de f em torno da reta bissetriz y = x.
 
 

 
 

 

 
 
 
  Esta página não é uma publicação oficial da UNESP.
A responsabilidade por seu conteúdo é exclusivamente da autora.
Responsável pela página: Profa. Dra. Maria Helena S. S. Bizelli